FAQ: Mondalter und Mondphase

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FAQ: Mondalter und Mondphase

Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:48

Bei der "Komplikation mit dem Mond" in einer Uhr spricht man üblicherweise von einer >Mondphasenanzeige<. Nur selten wird die Indikation als >Mondalter< bezeichnet. Was ist der Unterschied?

Die Astronomen haben das Mondalter als die Zeitspanne seit dem letzten Neumond festgelegt. Die Mondphase ist der sichtbare Anteil des Mondes, der von der Sonne beleuchtet wird. Sieht man sich die Sache grob an, so laufen beide synchron.
  • Alter 0 Tage = Neumond = Mondphase 0%
    Alter 7,4 Tage = zunehmender Halbmond (erstes Viertel) = Mondphase 50%
    Alter 14,8 Tage = Vollmond = 100%
    Alter 22,1 Tage = abnehmender Halbmond (drittes Viertel) = Mondphase 50%
    Alter 29,5 Tage = der Zyklus beginnt von neuem
Sieht man aber genauer hin, dann entdeckt man zwei Abweichungen.

Die erste ist noch relativ trivial. Die Zeit und das Mondalter läuft zwar linear, aber nicht der sichtbare beleuchtet Anteil.

  • Mondalter 0 Tage = Mondphase 0,0%
    Mondalter 1 Tage = Mondphase 1,1%
    Mondalter 2 Tage = Mondphase 4,5%
    Mondalter 3 Tage = Mondphase 9,8%
    Mondalter 4 Tage = Mondphase 17,0%
    Mondalter 5 Tage = Mondphase 25,7%
    Mondalter 6 Tage = Mondphase 35,5%
    Mondalter 7 Tage = Mondphase 45,9%
    Mondalter 8 Tage = Mondphase 56,5%
    Mondalter 9 Tage = Mondphase 66,9%
    Mondalter 10 Tage = Mondphase 76,4%
    Mondalter 11 Tage = Mondphase 84,8%
    Mondalter 12 Tage = Mondphase 91,6%
    Mondalter 13 Tage = Mondphase 96,5%
    Mondalter 14 Tage = Mondphase 99,3%
    Mondalter 15 Tage = Mondphase 99,9%
    Mondalter 16 Tage = Mondphase 98,3%
    Mondalter 17 Tage = Mondphase 94,5%
    Mondalter 18 Tage = Mondphase 88,6%
    Mondalter 19 Tage = Mondphase 81,0%
    Mondalter 20 Tage = Mondphase 72,1%
    Mondalter 21 Tage = Mondphase 62,1%
    Mondalter 22 Tage = Mondphase 51,6%
    Mondalter 23 Tage = Mondphase 41,0%
    Mondalter 24 Tage = Mondphase 30,8%
    Mondalter 25 Tage = Mondphase 21,5%
    Mondalter 26 Tage = Mondphase 13,5%
    Mondalter 27 Tage = Mondphase 7,1%
    Mondalter 28 Tage = Mondphase 2,6%
    Mondalter 29 Tage = Mondphase 0,3%
Zu Neu- und Vollmond ändert sich der Anteil nur sehr wenig, beim Halbmond dramatisch schnell. Es ist eine Sinusfunktion.

Die zweite Abweichung ist bei weitem nicht so offensichtlich, aber dafür umso komplizierter. Die Länge der Mondzyklen schwankt über die Jahre um 13 Stunden. Es gibt aber auch Jahre, in denen sie nur um 6 Stunden schwanken. Sieht man sich nicht nur die Länge des gesamten Zyklus, sondern auch die Zeiträume und Abstände der einzelnen Phasen wird es noch viel schlimmer. Was sich daraus an Abweichungen einer Indikation, die mit konstanter Geschwindigkeit abläuft, ergeben wird am Ende der FAQ näher betrachtet.

Erst mal die tatsächlichen Daten, mit "Lunar" 1.9 von Hans Anger berechnet. Die Daten wurden stichprobenartig mit anderen Programmen verglichen, die Differenzen lagen typisch in der Grössenordnung der Rundung auf ganze Minuten, maximal unter 3 Minuten (alles ohne Gewähr, Übertragungsfehler vorbehalten).

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:49

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:50

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:51

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:51

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:53

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:53

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:54

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:54

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Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 18:55

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Abweichungen von Uhren

Beitrag von Ralf » Mi 24. Feb 2010, 19:12

Abweichungen von Uhren

Die grafische Darstellung macht die Sache erst richtig anschaulich. In der ersten Grafik ist der Zeitraum von Neumond zu Neumond über 16 Jahre aufgetragen.

Bild

Man erkennt deutlich, dass sich verschiedene Frequenzen überlagern, es gibt eine Schwebung. Die eine Periode umfasst 13 bis 16 Mondzyklen (ist also etwas über ein Jahr lang), in der die Zeit zwischen zwei Extremen hin und wieder zurück schwingt. Die andere Periode umfasst rund 9 Jahre, bei der die Spanne zwischen den lokalen Extrema anwächst und wieder zurückgeht.

Was bedeutet es nun, wenn die Indikation einer Uhr mit Konstant 29,5330 Tagen pro Zyklus rechnet? Man kann ausrechnen, um wie viel der angezeigte Zeitpunkt mit konstantem Abstand vom tatsächlichen abweicht.

Bild

Man erkennt, dass sich der Fehler gar nicht so schlimm aufsummiert. Maximal 15 Stunden, schon rund 4 Mondzyklen nach dem Extrema gleichen sich die Abweichungen wieder aus.

Jetzt kann man den Fehler machen, noch genauer hinsehen zu wollen. Zum Beispiel nicht die Länge des gesamten Mondzyklus anzusehen, sondern die Länge der Viertel, also jeweils den Zeitraum zwischen Neumond - Halbmond - Vollmond - Halbmond - Neumond.

Bild

Das ist richtig herb. Bei einer mittleren Länge von 177 Stunden Abweichungen um plus/minus 20 Stunden. Das ist heftig, das kann eigentlich gar nicht sein, weil 4 Viertel zusammen ja nur Abweichungen von rund plus/minus 7 Stunden hatten! Was ist da los?

Erstens, die Zahlen stimmen. Da haben genügend Astronomen lange genug in den Himmel geguckt, das ist wirklich so. Danach gibt es viele Möglichkeiten weiter zu forschen. Eine ist die Häufigkeitsverteilung der oben gezeigten Werte anzusehen. Da bekommt man eine scharf begrenzte symmetrische bimodale Verteilung mit Dichtemitteln an beiden Enden. Das ist ein klares Zeichen für eine Sinusfunktion. Nur wo steckt sie? Mit blossem Auge oben nicht zu erkennen.

Erst, wenn man die vier unterschiedlichen Viertel unterschiedlich einfärbt und alle Werte jedes Viertels für sich miteinander verbindet kommt Ordnung ins Chaos.

Bild

Es sind vier Sinusfunktionen mit fast gleicher Amplitude, Frequenz und nur wenig veränderlichem Phasenversatz. In der Summe heben sich fast auf, aber eben mit starker Betonung auf "fast".

Stapelt man die vier Viertel als Balken übereinander bekommt man eine guten Eindruck davon und ein hübsches Bild:

Bild

Die Summe der vier Balken schwankt relativ wenig im Vergleich zu den einzelne Balken. Auch hier stellt sich wieder die Frage, was bedeute das für die Abweichung einer Anzeige in einer Uhr, die von konstant 7,38... Tagen pro Viertel ansetzt? Da lauert sogar noch mal einiges an Überraschungen, ohne die Farben und Verbindungslinien wäre aber wieder gar nichts erkennbar:

Bild
  • Die Halbmonde haben deutlich grössere Abweichungen als Neu- und Vollmond. Während diese bis zu 15 Stunden abweichen ergibt sich für die Halbmonde ein Maximum von rund 20 Stunden.
  • Grosse Abweichungen beim Vollmond (gelb) fallen mit geringen Abweichungen beim Neumond (schwarz) zusammen und umgekehrt.
  • Grosse Abweichungen beim zunehmend Halbmond (grün) fallen mit geringen Abweichungen beim abnehmenden Halbmond (violett) zusammen und umgekehrt.

Addendum:
20 Stunden sind 0,833 Tage. Dies sollte man nicht vergessen, wenn mal wieder eine Uhrenmarke ihre viel genaueren Mondphasenanzeige vorstellt. Hierbei geht es dann um die Darstellung der Mondzyklen mit 29,53.... Tagen, anstatt nur mit 29,50. Eine "Verbesserung" um 0,03 Tage bei einem System, dass schon von vorne herein einen systematischen Fehler von bis zu 0,83 Tagen besitzt.

Richtig ins Gewicht fällt die Abweichung, wenn es um Gezeiten, Ebbe und Flut geht. Hier beträgt die mittlere Periode 12,5... Stunden, also 0,52 Tage. Sie ist damit kleiner (!!!) als die maximale systematische Abweichung von 0,83 Tagen für die Berechnung der relativen Position des Mondes zur Sonne.
Man liest sich!

Ralf

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