FAQ: Mittlere ~, Wahre ~ und Sideriale Zeit

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Ralf
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FAQ: Mittlere ~, Wahre ~ und Sideriale Zeit

Beitrag von Ralf » Mo 29. Aug 2011, 19:24

In einem Thread zu einer Uhr mit siderischer Zeitanzeige ist die Frage aufgetaucht: "Was soll das?" Ich hab versucht zu erklären "Was das ist". Dabei kam dann auch prompt die Frage nach der Zeitgleichung, auch das ist dort diskutiert worden. Danach kam der Wunsch, das in die FAQ aufzunehmen. Einfach kopieren ging nicht so gut, weil es war ja ein Diskussion, mit Abschweifungen, Irrtümern, etc.. Die Darstellung eines astronomischen Problems als Diskussion hat zwar ein sehr prominentes Vorbild, nur, dann kommt jemand und behauptet, ich hatte bei Galileo Galilei einen Gutenberg gemacht. Also hab ich mal in mein nicht vorhandenes Fernrohr geguckt und gesucht, wie man das besser erklärt. dabei hab ich ein ganz tolles Planetensystem er- und gefunden. Damit kann ich es erklären, ohne dass einem gleich der Kopf raucht wie ein chinesisches Braunkohlekraftwerk.

Es ist das Planetensystem Dinner in der Galaxis Foody.

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Es hat ein paar tolle Eigenschaften:
  • Es besteht aus einem Stern, den die Einheimischen >Grosse Gelbe Paprika< nennen.
  • Es hat nur einen einzigen Planeten, den die Einheimischen >Kleiner Grüner Fleischklops< nennen.
  • Neben weiteren Planeten hat es auch keine Monde. Beides hat den Vorteil, dass man sich nicht mit einem Mehrkörper-System herumplagen muss, in dem sich die Planetenbahnen Jahr für Jahr verschieben.
  • Die Achse vom Kleinen Grünen Fleischklops steht exakt senkrecht zur Planetenbahn.
  • Ein Jahr hat exakt 10 Tage. Danach ist alles wieder in der exakt selben Position. Die Einwohner vom Kleinen Grünen Fleischklops können ihren Kalender jedes Jahr wiederverwenden. Es hat kein 10,24 Tage oder sonst was blödes Krummes.
  • Alle Einwohner vom Kleinen Grünen Fleischklops sind mathematisch hochbegabt. Sie nenne sich selber Dezimilianer. Deswegen hat kein König, keine Kirche, kein Politiker die Möglichkeit gehabt, den Kalender irgendwie zu verdummbeuteln.
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Wie sieht dieser Kalender der Dezimilianer aus?

Der erste Tag nennt sich Null. Der ist Feiertag, Neujahr, der zweite Tag nennt sich Eins, Arbeitstag, und so weiter. Fünf ist der freie Tag zum Erholen, und an Neun wird Sylvester gefeiert, mit Geschenken und so.

Ein Tag ist natürlich, wie es sich für einen Dezimilianer gehört, in 10 Hunden aufgeteilt. Die Hunde wird in DeciHunden, CentiHunden, Millihunden weiter unterteilt. Will man sich also am Tag Zwei Mittags zum Essen verabreden, dann ist das 2,5250: Tag Zwei, 5 Hunden, 24 CentiHunden. Das Jahr setzt man im Zweifelsfall einfach davor. Falls das Date also im Jahr 28614 stattfinden soll, dann wäre das 286142,5250. Dezimilianer mit Leseschwäche schreiben gerne 28614/2,5:250, damit man es gleich sieht, was was ist.

Die Dezimilianer haben zwar keine Kippung ihrer Klopsachse, aber trotzdem Jahreszeiten. Wenn der Grosse Gelbe Paprika weit weg ist, ist's kalt, wenn der nahe bei ist, warm. Die unterschiedlichen Abstände liegen an der Ellipsenbahn. Die Strecke zwischen der Grossen Gelben Paprika, umgangssprachlich auch kurz >Gelbe< genannt, und dem Zentrum des Systems haben sie als 1 MegaMesser festgelegt und ein MegaMesser entspricht zufällig der Länge von einer Million Tafelmesser. Manche hatten schon darüber spekuliert, ob das ein Beweis für den sogenannten Koch, den angeblichen Schöpfer des Universums ist, andere halten es für puren Zufall.

Die Ellipsenbahn hat jetzt aber stark zur mathematischen Hochbegabung der Dezimilianer evolutionär beigetragen. Warum? Es gibt den Drehimpuls eines rotierenden Systems, der muss erhalten bleiben. sonst hört das Ding irgendwann auf zu drehen oder fliegt auseinander. Kennt jeder von der Pirouette, auf dem Eis oder auf Rollschuhen: Hände dicht dran, kurze Wege, aber schelle Bewegung, Hände weit weg lange Wege, damit langsame Bewegung. Das Gleiche wie der Eiskunstläufer bei der Pirouette macht der >Grüne< (so nenne sie ihren Planeten kurz, vor allem dann, wenn sie gerade eine Diät machen).

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Die maximale Entfernung zwischen Gelbe und Grüner beträgt 3,2125 MM, die minimale 1,2125 MM.

Am Tag Null legt der Grüne 0,815 MM zurück,
Am Tag Eins legt der Grüne 0,907 MM zurück.
Tag Zwei 1,102 MM
Tag Drei 1,454 MM
Tag Vier 2,012 MM
Tag Fünf 2,012 MM
Tag Sechs 1,454 MM
Tag Sieben 1,102 MM
Tag Acht 0,907 MM
Tag Neun 0,815 MM

Die Dezimilianer lieben Symmetrien! Und die Rechung der Fläche so eines schiefen Tortenstücks ist auch nicht so ganz ohne. Alle 10 Stücke haben die selbe Fläche (1,2517 MM²).

Das gleich kann man auch für "Mittag", Uhrzeit 5:000 Hunden einzeichnen (in Orange).

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Der Grüner dreht um seine Achse mit 11 Umdrehungen pro Jahr, also mit 1,1 Umdrehungen pro Tag. Das zeichnen wir jetzt auch noch ein (in Rot):

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Und jetzt sieht man es: Nur an zwei Zeitpunkten, an 0,0:000 (ganz rechts) und an 5,0:000 (ganz links) steht die Gelbe dort, wo sie hingehört. Ansonst gibt es immer eine Abweichung zwischen der Richtung des Nullmeridians (Rot) und der Verbindungslinie Grüner zu Gelbe.

Sehen wir uns die Mittage an.

Am Tag Null steht die Gelbe um 0,030 Umdrehungen zu weit, westlich
(Für Nicht-Dezimilianer sind das 11°)
Am Tag Eins 0,086 Umdrehungen, westlich (31°)
Am Tag Zwei 0,133 Umdrehungen, westlich (27°)
Am Tag Drei0,154 Umdrehungen, westlich (18°)
Am Tag Vier 0,094Umdrehungen, westlich (34°)
Am Tag Fünf -0,094 Umdrehungen zu kurz, östlich (-34°)
(Minus, weil jetzt zu weit im Osten, also sie kommt >zu spät< im Süden an, Plus war zu weit im Westen, >zu früh<)
Am Tag Sechs -0,154 Umdrehungen, östlich (-55°)
Am Tag Sieben -0,133 Umdrehungen, östlich (-48°)
Am Tag Acht -0,086 Umdrehungen, östlich (-31°)
Am Tag Neun -0,030 Umdrehungen, östlich (-11°)

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Nun stellen die Dezimilianer die Frage aber genau anders herum: Wann ist die Gelbe am höchsten Punkt? Wann ist der wahre Mittag und nicht der mittlere Mittag auf Grüner?

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Das ist jetzt die Zeitgleichung für den Planeten Kleiner Grüner Fleischklops. Der Grüner braucht zwar im Mittel immer 10 Hunden, um einen Tag weiter zu drehen. Allerdings ist das halt nur ein Mittelwert, weswegen man so was >Mittlere Zeit< nennt. Die >Wahre Zeit<, auch >Wahre Gelbezeit< genannt, weicht davon ab. Am Schlimmsten zwischen Tag Vier und Tag Fünf, da ändert sich der Mittagsdurchgang von Gelbe von 1,08 Hunden vor dem mittleren Mittag auf 1,08 danach, also um ganze 2,16 Hunden. Von Zwei auf Drei und von Sechs auf Sieben sind es noch nicht mal 0,3 Hunden Veränderung.

Jetzt machen sich die Dezimilianer Gedanken um die vier Jahreszeiten: Der Jahresanfang soll auch der Winteranfang sein, also 0,0:000, damit ist auch der Sommeranfang klar: 5,0:000. Ganz praktisch, weil das ist eh der freie Tag. Aber wann fängt Frühling und Herbst an? Die Antwort ist nicht, dass man das Jahr einfach viertelt, das wäre ja zu einfach. Sondern, da gibt es viel tollere Punkte: Dann wenn die Linie Grüner zu Gelbe senkrecht auf der Linie Sommeranfang zu Winteranfang. Frühlingspunkt ist damit 3,9:400, Herbstpunkt 6,0:600.

Damit sind die Dezimilianer aber noch nicht zufrieden. Sie wollen auch wissen, wann dieser komische kleine Stern namens >Sonne< aus der Galaxis >Milchstrasse< am Höchsten steht. Der Name Milchstrasse gefällt ihnen nämlich so gut!

Zeichnen wir die Richtung zum Stern Sonne ein (in Cyan):

Bild

Am Zeitpunkt 0,0:000 steht sie genau quer ab zur Hauptachse der Ellipse, und am Frühlingspunkt genau in der Verlängerung von Gelbe zu Grüner. Welch toller Zufall. Deswegen beschliessen die Dezimilianer. diese Richtung des Universums 0 zu nennen.

Wann steht die Sonne wieder in derselben Richtung, bezogen auf einen Beobachter auf Grüner, der sich ja mit dem Klops mitdreht? Zum Zeitpunkt 4,0:41, nach 9,090909 Hunden. Die Zahl kennen wir doch irgendwoher? Ja, das ist die Zeit, die der Klops für eine Umdrehung braucht! Logisch, ganz klar, muss ja so sein. Die ganze Reihe lautet:
  1. 3,9:40
  2. 4,8:49
  3. 5,7:58
  4. 6,6:67
  5. 7,5:76
  6. 8,4:85
  7. 9,3:95
  8. 0,3:04
  9. 1,2:13
  10. 2,1:22
  11. 3,0:31
  12. 3,9:40
Beim 12. Punkt der Liste ist man wieder am Frühlingspunkt. Moment mal! Die Sonne kommt 11 mal in einem Jahr vorbei! Das Jahr hat doch aber nur 10 Tage. HÄ?

Ja, eben haben wir entdeckt, dass sich der Kleine Grüne Fleischklops in einem Jahr 11 mal um seine eigene Achse dreht. Eigentlich auch ganz einfach 10: Tage durch 9,090909 Hunden pro Umdrehung macht genau 11 Umdrehungen.

Jetzt hat der Oberastronom der Dezimilianer eine Idee: Er hängt eine Uhr in sein Observatorium, die etwas zu schnell läuft, um 10% zu schnell. Damit ist sie nach 9,090909 Hunden einmal rum. Er stellt sie am Frühlingspunkt auf 0,000 und jedes Mal, wenn sie wieder 0,000 anzeigt, dann steht unsere Sonne wieder an exakt derselben Stelle am Firmament. Man braucht noch nicht mal ein Zeitgleichung, das ist viel praktischer, als die Uhr nach der Grossen Gelben Paprika zu stellen, da muss man ja immer mit der Zeitgleichung korrigieren. Damit hat der Oberastronom die Siderische Zeitmessung erfunden. Bei den Nicht-Astronomen hat sie sich trotzdem nicht durchsetzen können, weil die Biologie da nicht mitmacht. Im täglichen Leben will kaum einer eine Zeitmessung, die nicht halbwegs synchron zu Hell und Dunkel läuft, die 1,08 Hunden sind schon schlimm genug, aber man gewöhnt sich doch irgendwie so dran, das es einem nicht mehr auffällt, solange man nicht gerade eine Gelberuhr bastelt. Aber die wird eh nie fertig.

Mittlerweile haben natürlich auch die Dezimilaner Computer, und die Uhr im Observatorium ist ein Anachronismus. Zum Beispiel das Programm RedTomatenShift rechnet für jeden Stern sofort aus, wann er wo steht, abhängig davon, wo man auf dem Kleinen Grünen Fleischklops ist, selbst wenn man eine Position irgendwo in der Galaxis Foody eingibt. Weil sie so hübsch aussieht hat man die alte Siderialzeituhr trotzdem hängen lassen.

P.S. am 30.8.2011
Ich habe mich jetzt doch entschlossen, die Bahn mit korrekten Brennpunkten zu rechnen. Dann sieht man zwar die Ellipsenform mit blossem Auge kaum, aber alle genannten Zahlen sind dann auch richtig und einige Ungereimtheiten ausgeräumt. Zum Beispiel kann man jetzt die Abstände zwischen der Grossen Gelben Paprika und dem Kleinen Grünen Fleischklops sowie die Geschwindigkeiten des Kleinen Grünen Fleischklops herzeigen, ohne dass sich jemand wundern muss.

Bild

Alle Grafiken und betroffene Zahlenwerte wurden ausgetauscht.


P.P.S. am 1.9.2011
Nullmeridian auf dem Kleinen Grünen Fleischklops umgedreht, ist besser so, dann stimmen auch die Vorzeichen der Zeitgleichung mit der Erde überein. Bei der Gelegenheit auch noch die Näherung durch eine genauere numerische Lösung ersetzt. Die Näherung funktioniert für die Erde ganz gut, weil sie sich pro Tag nur ein kleines Stück auf der Bahn bewegt (0,269 bis 0,274%), bei den Mordsbewegungen des Kleinen Grünen Fleischklops (6 bis 15 %) macht sie aber über 10% Fehler.

Einige betroffene Diagramm und Zahlenwerte wurden ausgetauscht.
Man liest sich!

Ralf

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Re: FAQ: Mittlere ~, Wahre ~ und Sideriale Zeit

Beitrag von Ralf » Mo 29. Aug 2011, 19:28

Jetzt müssen wir leider die Dezimilianer verlassen und zur Erde zurückkehren. Damit wird Vieles richtig böse.
  • Mehrkörpersystem, analytisch nicht zu lösen.
  • Die Hauptachsen der Ellipse verschieben sich von Jahr zu Jahr ein wenig.
  • Die Erdachse ist gekippt. So stark, dass wir auf der Nordhalbkugel Sommer haben, obwohl wir der Sonne dann am nächsten sind.
  • Die Erdachse ist nicht in Richtung einer Hauptasche gekippt, aber fast. Da fehlen dunmmerweise ein paar Grad.
  • Ganz böse: Die Erdrotation passt nicht zur Umlaufzeit der Erdbahn. Das geht nie ganzzahlig auf.
  • Kalender gehen nicht wie Uhrzeiten mit 0 los, sondern mit 1. Blödsinn, Chaos.
  • Feiertage richten sich teilweise nach erfunden Terminen, die zwar oft in der Nähe der alten heidnischen Feiertage liegen, aber nur in der Nähe, man wollte den alten Göttern eins auswischen, ohne die Leute zu sehr umgewöhnen zu wollen.
  • Die Erdachse taumelt ein wenig, sie braucht zwar gut 25000 Jahre für einmal taumeln, aber immerhin.
  • Die Monatslängen passen nicht zu den Wochenlängen, die Mondumläufe auch nicht.
  • Dann gibt es da noch die saudumme Gravitation, mit ihrer krummen Raum-Zeit-Krümmung, die macht Vieles an der theoretisch erreichbaren Genauigkeit wieder zunichte.
Einen Vorteil haben wir aber:
  • Unsere >numerische Exzentrizität< ist mit 0,0167 sehr viel kleiner als die der Dezimilianer. Die haben 0,4706, mehr als das 28fache; sorgt aber dafür dass unsere Distanz zur Sonne nur zwischen 147,1 und 152,1 Mio. Kilometer schwankt. Der kleinste Durchmesser unserer Bahnellipse unterscheidet sich vom grössten gerade mal um 0,01%.
Ein Umlauf der Erde braucht exakt 23 Stunden, 56 Minuten, 4,099 Sekunden. Sehr gleichmassig, weil eine solch grosse Masse beschleunigt man nicht mal eben so schnell, weder positiv noch negativ. Exakt insofern, als dass sie langfristig immer langsamer wird, weil Ebbe und Flut sowie der sich um ein paar Zentimeter jedes Jahr entfernende Mond Energie abzieht; rund 0,000020 Sekunden langsamer pro Jahr. Da ist verdammt wenig Änderung. Da macht das Mehrkörperproblem deutlich mehr Ärger.

Wie lange die Erde für ein Jahr braucht wird schon zum Problem. Viele Antworten sind möglich, drei davon für einen Astronomen wichtig:
  • Bis die Erde wieder in derselben Richtung zu den Sternen bezüglich der Sonne steht: Siderisches Jahr
  • Bis die Sonne wieder auf derselben Position der Ellipse steht: Anomalistisches Jahr
  • Bis die Sonne wieder an derselben Stelle am Himmel der Erde steht:
Die Zahlenwerte dazu:
  • Siderisches Jahr: 365 Tagen 6 Stunden 9 Minuten 9,5 Sekunden
  • Anomalistisches Jahr: 365 Tagen 6 Stunden 13 Minuten 52,5 Sekunden
  • Tropisches Jahr: 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 45 Sekunden
Wegen der Jahreszeiten hat man sich für das Tropisches Jahr als Grundlage des Kalenders entschieden. Jetzt passt aber weder die 23 Stunden, 56 Minuten, 4,099 Sekunden noch die 24:00:00 in 365 Tagen 6 Stunden 9 Minuten 9,5 Sekunden noch in 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 45 Sekunden ganzzahlig hinein. Die Erde selber steht also nach einem Jahr wieder (so eingermassen) am selben Punkt. Nur welcher Kontinent dann Richtung Sonne zeigt, also Mittag ist, und welcher weg davon, also Mitternacht, das ist immer wieder anders.

Damit das die allgemeinen Bevölkerung nicht in den Wahnsinn treibt und das Jahr nicht irgendwann um 5:48 morgens anfängt wird immer auf ganze Tage gerundet, normalerweise abgerundet. Im Schaltjahr per 29.2. aufgerundet; die fehlenden Stunden so immer mal wieder aufgeholt und das Kalenderjahr, und damit auch das normale, bürgerliche Jahr fängt um 0:00 am 1.1. an.

Bleibt noch die Zeitgleichung übrig. Den Anteil der Exzentrizität kennen wir schon von den Dezimilianern. Bei uns kommt aber noch die Kippung der Erdachse hinzu.

Bild

Die grüne Kurve ist die Folge der Exzentrizität, wie beim Kleinen Grünen Fleischklops. Fängt leider nicht wie dort genau am Jahresanfang mit Null an, sondern ein paar Tage später. Nulldurchgang der Ellipse am 2. bis 5. Januar = Perihel. Und sie ist viel kleiner als beim Grüner, nur maximal 8 Minuten anstatt 1,5 Hunden, wegen der kleineren Exzentrizität der Ellipse. Ausserdem ändert sich unsere Kurve von Tag zu Tag so wenig, dass man die für Greenwich berechnete Kurve meistens für alle Zeitzonen einsetzen kann, ohne dass der Fehler auffällt (Er beträgt im ungünstigsten Fall, Ende Dezember, nur etwas über 1 Sekunden pro Zeitzone, ca. 14 Sekunden für die Datumsgrenze. Bei den Dezimilanern unterschieden sich die Zeitgleichungen um bis zu einer Hunde!)

Die blaue Kurve ist die Folge der Kippung der Erdachse, Die Zeiten packen sich auf die grüne Kurve noch drauf. Die Kurve hat vier Nulldurchgänge, dann, wenn die Erdachse entweder genau zur Sonne hin zeigt, genau weg oder der Winkel zwischen der Linie Erde-Sonne und der Erdache genau rechtwinklig ist. Die Termine sind
  • Wintersonnenwende (22. bis 23. Dezember)
  • Tagundnachtgleiche (20. März und 23. September, auch wieder plus/minus so einen Tag)
  • Sommersonnenwende (aktuell 21. Juni)
Auch wieder eine kleine Verschiebung zum Jahresanfang.

In der Summe kommt die dicke orange Linie dabei raus; ziemlich krumme Sache. Bei dieser Überlagerung liegt die stärkste Änderung um den 20.12. herum, mit fast einer halben Minute pro Tag. Da ist diese Veränderung dann sogar stärker als die Veränderung von Sonnenauf- und Untergang.

Auch auf der Erde hat man den Frühlingspunkt zur Null-Richtung für das Universum erklärt. Wegen der Kippung der Erdachse haben die Astronomen das etwas kompliziert klingend formuliert: Schnittpunkt des Himmelsäquators mit der Ekliptik.
  • Himmelsäquator ist die Ebene des Erdäquators,
  • Ekliptik ist die Bahnebene,
  • die Differenz die Kippung der Erdachse.
Die Richtung eines Himmelskörpers, bezogen auf diese Nullrichtung, ist eine fixe Grösse und nennt sich >Rektaszension<. Bezieht man den Winkel auf die rotierende Erde, das nennen die Astronomen dann >Ortsfest<, dann verändert er sich mit der Drehung der Erde dauernd und nennt sich >Stundenwinkel<. Die Differenz kennen wir schon. Die Siderische Zeit! Und die Astronomen geben für alle drei Winkel keine Gradangaben an, sondern "scheinbare" Zeitangaben.

Das Ganze verwirrt jetzt die Nicht-Insider: Astronomen reden da von Zeiten, meine damit aber Winkel. Zur Sternzeit 0 steht der Beobachter auf der Erde in der selben Richtung zum Stern, an dem er auch zu dem Zeitpunkt stand, als die Erde zur Sonne am Frühlingszeitpunkt (ca. am 20. März, ±1 Tag) stand. 12:00 bedeutet, er steht in der Gegenrichtung. Ist etwas Ähnliches wie die Angabe bei den Fliegern "XYZ auf 2 Uhr", nur dass Astronomen von 24h für einmal rund rum (360°) ausgehen und nicht von 12h.

Mal ganz einfach und pragmatisch: Wenn die Siderische Uhr am Dienstag 17:54 (eigentlich 268,5°) anzeigt und man hat dann einen Stern genau im Süden, dann wird er am Mittwoch, am Donnerstag, am Freitag um 17:54 "siderischer Zeit" wieder im Süden sein. Nach Mittlerer Zeit ändert sich das pro Tag um rund vier Minuten. Könnte vielleicht der Stern Grosser Gelbe Paprika sein.
Man liest sich!

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Re: FAQ: Mittlere ~, Wahre ~ und Sideriale Zeit

Beitrag von Ralf » Mi 2. Jan 2013, 20:57

So kanns gehen, man denkt sich nichts Böses, liest einen Beitrag zu einem Thema, mit dem man sich schon mal intensiver beschäftigt hat, findet eine, nennen wir es mal suboptimale Formulierung zur Wintersonnenwende und stellt die Sache richtig. Dabei fällt einem auf, dass man die Rechnung dazu nicht mehr findet. Nach heftigem Suchen finde ich sie wieder, aber unter dem Dateinamen Solstitium und nicht Wintersonnenwende. Autsch.

Erster Schritt: Man rechnet aus, wie lang das Tageslicht an den Tagen um den Jahreswechsel herum ist.

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Zweiter Schritt: Man rechnet die Verschiebung der Sonnenzeit zur mittleren Zeit aus.

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Dritter Schritt: man packt beides zusammen und bekommt die Lösung, warum an der Wintersonnenwende weder der späteste Sonnenaufgang (unten, ca. 2.1.) noch der frühste Sonnenuntergang (oben (ca. 12.12.) stattfindet.

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Soweit so gut, aber dabei braucht man halt die Zeitgleichung, und dabei fällt mir ein, dass da noch eine Frage offen war, um die ich mich damals nicht gekümmert hatte. Wo man auch über die Zeitgleichung nachliest wird erwähnt, dass sie in der Antike schon bekannt war.
  • Die Babylonier wussten, dass die Sonnentage unterschiedlich lang sind, aber haben nur grobe Schätzwerte rechnen können.
  • Hipparchos von Nicäa hat im 2. Jahrhundert vor Christus dran gearbeitet.
  • Ptolemäus hat dann 300 Jahre später Zahlen rausgeben, die auch heute noch für fast alle Anwendungen genau genug sind.
Die Frage ist ganz einfach: Wie haben die Alten das rausbekommen?

Klingt erst mal einfach, man muss ja nur genau hinsehen. Aber wie macht man das, wenn man weder Fernrohr noch Uhr hat? Die Abweichungen betragen maximal 30 Sekunden pro Tag, und über einen längeren Zeitraum heben sie sich sogar gegenseitig auf. Wie konnten man dann schon so gute Zahlen rausrücken, obwohl er sowohl Uhrzeit als auch Winkel nur auf ein paar Minuten genau bestimmen konnte? Das stand in keinem meiner Bücher.

Ich hab jetzt ziemlich tief gegraben, und ein Artikel von Burkhard Steinrücken von der Volkssternwarte und Planetarium Recklinghausen hat mich endlich auf die richtige Spur gebracht.

Das Problem beginnt einen früher. Wie bekommt man die Tagundnachtgleiche raus?

Ohne genaue Uhr kann man Tageslänge und Nachtlänge gar nicht so genau messen, Fixsterne als Referenzzeit fallen zu beiden Zeiten auch aus, selbst wenn man ein genaue Uhr hätte, würde man falsch messen. Durch die Beugung an der Atmosphäre ist nämlich zu Tagundnachtgleiche der Tag ein paar Minuten länger als die Nacht. Mist. Ich hatte bis dahin gedacht, sie hätten sie über die Punkte ermittelt, an denen am Horizont die Sonnenauf- und -untergänge stattfinden. Zur Tagundnachtgleiche liegen die auf 180° gegenüber. Es gibt aber eine einfachere und genauere Methode. Damit kommen wir zu Indies Sonnenuhr.

Bild
http://forum.watchtime.ch/viewtopic.php?f=6&t=12056
Immerhin ein verwertbares Ergebnis des Threads.

Zur, und zwar NUR zur Tagundnachtgleiche ist die Linie, die die Spitze des Zeigers auf die Wand malt, eine Gerade.

So, und nun kann man also genau beobachten, wann das ist, einmal Anfang Frühjahr, einmal Anfang Herbst. Und jetzt haben sie einfach Tage gezählt: Vom Frühjahrsanfang bis zum Herbstanfang, dann wieder bis zum Frühjahrsanfang. Herbst und Winter sind im Mittel rund 179 Tage, Frühjahr und Sommer aber etwas über 186 Tage.

Dass die Sonne jeden Tag um knapp ein Grad (Winkel) weitere wandert, was 4 Minuten in Zeit bedeutet, war durch das Wandern der Tierkreiszeichen bekannt. Aus diesen beiden Dingen war zu schliessen, dass ein zusätzliche Bewegung sein muss. Die Babylonier haben dann für jedes der zwölf Tierkreiszeichen die Sache ausgemessen, nicht für jeden Tag, und kamen auf 56 bis 64 Winkelminuten für jedes Tierkreiszeichen, das konnten sie gerade so messen (D.h. eine Änderung von 8 Winkelminuten über s Jahr).

Hipparchos hat sich dann überlegt, dass es wohl Blödsinn wäre, wenn die Sonne unterschiedlich schnell fliegt soll und hat erkannt, dass es wahrscheinlicher ist, dass sich die Entfernung ändert, und sich deswegen bei konstanter Bahngeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit für den Beobachter ändert. Also, hat er die Kreisbahn der Sonne soweit verschoben, dass die tatsächlichen Abstände zwischen Wintersonnenwende, Frühjahrspunkt, Sommersonnenwende und Herbstpunkt passten.

Ausserdem wusste er, das die Erde eine Kugel ist und die Ekliptik gegen den Äquator um 23°15‘ geneigt ist. Die Zeitverschiebung durch diese Neigung konnte die alten Griechen dank Euklid schon berechnen. Das ist eigentlich die Rechnung, die ich als Grafik schon mal dargestellt hatte, als es um die FAQ: Wie funktioniert das mit der Uhr als Kompass? ging:

Bild

Dass die Verschiebung der Kreisbahn so gut hinhaute war ein bisschen Glück, die Exzentrizität der Erdbahn ist so gering, dass der Unterschied zur Ellipse kaum auffällt. Immerhin ist ihm schon aufgefallen, dass die Exzentrizität nicht die gleiche Richtung hat wie die Neigung der Ekliptik. Das ist der Unterschied zischen Wintersonnenwende und Perihel, sieh ein Beitrag höher, gleich unter der Grafik der Zeitgleichung.

Ptolemäus ist die Problematik mit der Exzentrizität trotzdem aufgefallen, und er hat als Lösung vorgeschlagen, dass man einen Aquanten einführt. Das ist ein Punkt, von dem aus die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, der aber nicht im Mittelpunkt des Kreises liegt. Er hat dazu den Punkt gewählt, der als Spiegelbild zur Verschiebung des Erdpunktes gegenüber dem Mittelpunkt des Kreises liegt. Die Formel, die sich dadurch ergibt ist in erster Näherung identisch mit der Lösung des 2. Kepplerschen Gesetzes. Da die Exzentrizität der Erdbahn so klein ist, ist auch der Unterschied vernachlässigbar.

Die alten Griechen kamen so schon auf die richtigen Zahlen von 57 bis 61 Winkelminuten, die die Sonne jeden Tag weiter wandert als die Sterne, oder nach heutiger Weltsicht, um den sich die Erde weiter drehen muss, bis die Sonne wieder am höchsten Punkt ankommt. Die Spanne von vier Winkelminuten entspricht 16 Sekunden (Zeit), die im Beitrag oben grafisch dargestellte Zeitgleichung rechnet mit einer Spanne von 15,78 Sekunden für die Exzentrizität.

P.S.
Um 900 nach Christus hat dann Mohammed Al-Battani (Voller Name: Abu Abdullah Muhammad ibn Dschabir ibn Sinan al-Harrani as-Sabi al-Battani, kein Karl May Witz) im Abbasidenkalifat beim Nachrechnen der Beobachtungswerte, die Ptolemäus von Hipparchos übernommen hatte, gemerkt, dass sich der Perihel nicht nur relativ zur Sonnenwende verschiebt (das hatte Hipparchos schon gemerkt), sondern auch bezüglich der Fixsterne, damit die Periheldrehung entdeckt. Das Siderische Jahr hat 365 Tagen 6 Stunden 9 Minuten 9,5 Sekunden. das Anomalistische Jahr 365 Tagen 6 Stunden 13 Minuten 52,5 Sekunden, macht 4 Minuten 43 Sekunden Unterschied. Bei 525969 Minuten pro Siderischem Jahr brauchts also 111473 Jahre pro einmal ganz rum. Das führt jetzt wohl selbst für ein Uhrenforum zu weit. Aber immerhin sind wir damit wieder beim Thema der Überschrift angekommen und haben damit auch einen kompletten Zyklus.
Man liest sich!

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