FAQ: Die Ungenauigkeit bei der Genauigkeit oder Was Ist Was?

[Ralf]

Hier treffe zwei Dinge zusammen, Sprache und Technik. Und aus beiden Gründen entstehen Probleme, vor allem, wenn zwei den selben Begriff benutzen, aber unterschiedliche Dinge darunter verstehen. Ausgerechnet der Begriff Genauigkeit klingt so präzise, ist aber im Wirklichkeit eher nichtssagend.

Fangen wir mal ganz einfach bei der Uhrzeit an, die Uhr A zeigt 14:38:10, so zum Beispiel. Das ist ganz einfach ein Wert, und zwar ein Ist-Wert. Hat man gleichzeitig jetzt eine Referenzzeit, z.B. von einer funktionierenden und tatsächlich synchronisierten Funkuhr, hat man eine zweiten Wert, den Soll-Wert. Beispielsweise 14:36:58 Jetzt kann man ganz einfach die Differenz ausrechnen, aber bitte richtig rum: Ist-Wert minus Soll-Wert. Das Ergebnis hat bei Uhren einen speziellen Namen: der Stand (Merke: Stand ist die Abweichung der Uhrzeit). Im Beispiel wäre das: Stand = +0:01:12 .Wenn einem der Stand nicht gefällt, kann man ihn über die Krone per Ziehen und Drehen einstellen, bei einer Uhr mit Sekundenstopp per "mit Reindrücken der Krone" sogar sehr gut. Danach hat man dann einen neuen Stand. Ist-Wert 14:46:03, Sollwert 14:46:01, Stand +2 Sekunden (der Einfachheit halber werden Stände üblicherweise immer in Sekunden angegeben, weil sich 72 Sekunden leichter rechnen lässt als 0:01:12).

Messen wir jetzt den Stand später noch mal, werden wir bei mechanischen Uhren des öfteren feststellen, dass sich der Stand verändert. 14:55:09 Ist-Wert zu 14:55:00 ist Stand +9 s. Bildet man jetzt die Differenz der Stände, +9 s - +2 s = +7 s ist das mathematisch korrekt, nur messtechnischer Unsinn. Es fehlt nämlich die entscheidende Hälfte: In welcher Zeitspanne hat sich der Stand um 7 s verändert? In 8 Minuten und 9 Sekunden? Das wäre katastrophal! Wäre aber der erste Wert zum Start um 14:46:51 und der zweite um 14:55:00 einen Tag später, oder eine Woche, sähe die Sache schon ganz anders aus. Man muss also immer zur Differenz der Stände die Zeitspanne angeben, auf der sie ermittelt wurde. Den Quotient (Stand zum Zeitpunkt 2 – Stand zum Zeitpunkt 1) / (Zeitpunkt 1 – Zeitpunkt 2) hat den Namen Gang (Merke: Gang ist die Abweichung der Stände pro Zeit). Gibt man Zähler und Nenner in Sekunden an, wird die Zahl zwar dimensionslos, aber bei Uhren sehr sehr klein, und damit unhandlich. Deswegen hat sich eingebürgert die Stände in Sekunden, aber die Zeitpunkte in Tagen zu nehmen und als Einheit s/d (seconds per day) dazuzuschreiben.

Kleine Beispiel-Tabelle: Uhr A
Tag; Ist-Wert; Soll-Wert; Stand
1; 14:46:03; 14:46:01; +2 s
2: 14:55:09; 14:55:00; +9 s
3: 14:00:10; 14:00:01; +9 s
4: 13:56:06; 13:56:00; +6 s
5: 14:55:07; 14:55:00; +7 s
6: 14:25:16; 14:25:04; +12 s
7: 14:05:13; 14:05:00; +13 s
8: 14:55:16; 14:55:00; +16 s
9: 14:32:22; 14:32:00; +22 s

Wir haben also die Werte einmal pro Tag mit grob 24 h Abstand aufgenommen. Das vereinfacht das Rechnen ungemein, weil der Zähler dann 1 ist. (Die Schwankung um ein, zwei Stunden kann man getrost vernachlässigen, 1 Stunde macht 0,042 s/d aus und so genau eine Uhr mit einem 0,125 Sekunden Inkrement gar nicht sein). Zusätzlich aber ist ein Tag = 24 h auch die übliche Zeitperiode für vergleichbare Beobachtungen und genau dieser Gangwert deswegen einen besonderen Namen: Es ist ein täglicher Gang.

Nochmal Uhr A von oben:
Tag; Stand; täglicher Gang
1; +2 s; entfällt, weil Startwert
2: +9 s; +7 s/d
3: +9 s; ±0 s/d
4: +6 s; -3 s/d
5: +7 s; +1 s/d
6: +12 s; +5 s/d
7: +13 s; +1 s/d
8: +16 s; +3 s/d
9: +22 s; + 6 s/d

Im Gegensatz zum mittleren Gang. Den Begriff verwendet man, wenn die Zeitspanne länger als ein Tag war. Beispiel (siehe oben) (+22 s - +2 s) / (9 d – 1 d) = +20 s / 8 d = + 2,5 s/d. Man kann den mittleren Gang auch anders ausrechnen, als Summe aller täglichen Gänge durch die Anzahl der Tage (das ist die Formel fürs arithmetische Mittel, deswegen heisst es auch >mittlerer<). Beispiel Uhr A: ( 7 + 0 - 3 + 1 + 5 + 1 + 3 + 6 ) s / 8 d = +20 / 8 s/d + 2,375 s/d. Was man nicht so schnell sieht: Eine Uhr B mit Stand +2, + 4, +7, +9, +11, +14, +16, +19, +22 s, also tägliche Gänge + 2, +3, +2, +2, +3, +2, +3, +3 s/d ergibt genauso einen mittleren Gang von +2,5 s/d. Die Erkenntnis: der mittlere Gang sagt nichts über das Verhalten der Uhr während der Zeitspanne aus. Nur über die Differenz der Stände am Anfang und am Ende des Beobachtungszeitraums!

Wen nun aber der Gang nichts über das qualitative Laufverhalten des Werkes aussagt, sondern nur Beschreibung der Regulierung des Werkes ist, dann braucht man noch eine weitere Angabe, die die Fragen beantwortet: Wie gut läuft das Werk? Welche Unsicherheit steckt im Gangverhalten? Ganz einfach: Man sucht den langsamsten täglichen Gang und den schnellsten täglichen Gang. Und bildet die Differenz. Wieder Uhr A: langsamste -3, schnellste +7 macht (+7) - (-3) = 10 s/d. Und das nennt man dann Ganggenauigkeit (Merke: Ganggenauigkeit ist die Abweichung der Gänge). Uhr B wäre (+3) – (+2) = 1 s/d. (da man immer den kleineren vom grösseren Wert abzieht, kommt auch immer ein positive Zahl raus). Diese Abweichung kann man jetzt so einfach am Arm ermitteln. Da wird aber bei jeder Person was anderes rauskommen.

Man kann sie aber auch in absoluter Ruhe und konstanter Temperatur ermitteln, dafür aber die Lagen ändern. Die Lagen beschreiben, wie die Uhr dabei liegt. Es gibt 6 verschiedene
4 >hängende< Lagen:
- Krone rechts = KR = 12:00 oben = 12H
- Krone oben = KO = 3:00 oben = 3H
- Krone links = KL = 6:00 oben = 6H
- Krone unten = KU = 9:00 oben = 9H
2 >liegende< Lagen
- Zifferblatt oben = ZO = CH
- Zifferblatt unten = ZU = FH
Die Abweichung untereinander beschreibt dann die Genauigkeit in den x Lagen. X, weil nicht immer werden alle 6 gemessen, die Chronometerprüfung z.B. lässt Krone rechts weg.

Ein bisschen ein Spezialfall ist es, wenn man die Temperatur ändert. Dann muss man nämlich sagen um wie viel Grad. Um besser vergleichen zu können, teilt man die Ganggenauigkeit dann durch die Temperaturdifferenz. Wieder die Chronometerprüfung als Beispiel misst bei 38 und bei 8°C und teilt dann durch 30° .Als >Gut< gelten Werke, die weniger als ±0,6 s/(d °C) , d. h. Sekunden pro Tag UND Grad Celsius abweichen.

Das waren jetzt alles ganz einfache Rechnungen, die sich auf die auf +, - , / beschränken. Man kann das alles auch mit statistischen Methoden genauer berechnen, aber dann wir es wirklich etwas komplizierter. Ich hab vor einiger Zeit mal eine Excel-Worksheet zusammengebastelt, dass die Rechnungen für die Werte >täglich am Arm< selbsttätig macht und noch ein paar einfache weiterführende statistische Methoden anwendet. Kann man sich bei Einverständnis mit den Bedingungen: >nur private Nutzung, keine Nutzung für den Handel mit Uhren, kein Gewähr< hier (Link rechts klicken, speichern ...)
http://www.rawac.de/download/Gang_berechnen_XP.xls
runterladen (MS Excel ist natürlich nicht dabei, dass muss man schon selber haben).

Fazit
1) Stand ist die Abweichung der Uhrzeiten zu einem Zeitpunkt
(und wird vom Besitzer eingestellt)
2) Gang ist die Abweichung der Stände pro Zeitspanne
(und wird vom Uhrmacher individuell eingestellt)
3) Ganggenauigkeit ist die Abweichung der Gänge
(und wird massgeblich vom Hersteller des Werkes bestimmt)
Damit sollte auch klar sein, das >Gangabweichung< eigentlich >Abweichungsabweichung< bedeutet, was doppelt gemoppelt ist, und damit - wie eine doppelte Verneinung - schnell zu Missverständnissen führt.

P.S. der Vollständigkeit halber: in der Messtechnik haben die Missverständnisse zu verbindlichen Normen geführt. Genauigkeit wird dort nur noch als unspezifizierter Oberbegriff verwendet, Gang entspricht >Messabweichung< (measured error) und Ganggenauigkeit >Unsicherheit< (inaccuracy). Nur für den Fall, das mal einer über die Begriffe stolpert.

[cygni]

Hallo Ralf,

für mich als Laie eine TOP ! Abhandlung, die es leicht verständlich auf den Punkt bringt. Toll.

VG Cygni

[matadoerle]

Möchte mich anschließen: herzlichen Dank! Top verständlich, top genau und top übersichtlich - obwohl ich alles schon in etwa wusste, jetzt kann ich es genauer sagen und verstehen
Gruß Thorsten

[M G]

Hallo Ralf

Dem allgemeinen Lob will ich mich ebenfalls anschliessen. Auf die sehr gut gemachte Excel-Datei bin ich eigentlich in einem anderen Forum aufmerksam geworden und habe danach erst gemerkt, dass sie von ursprünglich Dir stammt.

Seit ein paar Tagen nutze ich sie. Dass meine Guinand ganz gut läuft, wusste ich vorher schon, aber so als Schaubild sieht das natürlich besser aus.

Danke nochmals,

Beste Grüsse

Markus

[TackTick]

Hallo Ralf,

Dein Excel-Worksheet ist wirklich toll.

Ich benutze es für meine 3 Regulatoren (2* Kieninger, 1* Helmut Mayr, ehedem Andechs, jetzt Schwarzwald), und ich habe durch die Auswertungen

1) einige Erkenntnisse über die Uhren gewonnen.

2) die Regulierung der Uhren hat sich wesentlich vereinfacht.

Also, nochmals herzlichen Dank für das Worksheet (vielleicht finde ich da ja noch einen Fehler ) , und weiteren Dank für Deine
sehr hilfreichen theoretischen Ausführungen zur Uhrentechnik.

Viele Grüße

Günter

[Ralf]

Nachdem Holm mich auf einen Fehler in den Zahlen aufmerksam gemacht hatte (ich hatte beim Übertragen aus dem EXCEL Worksheet geschlampt, Entschuldigung an alle, die ich damit irgendwie irritiert hatte!) habe ich mich nicht nur drangesetzt und den Fehler editiert, sondern auch die Zahlen im Beispiel etwas verändert. Das war jetzt nicht, weil sie etwa schlecht waren, sondern da hätte was zu weiteren Missverständnissen führen können. Das will ich hier jetzt etwas erklären.

Rechnerisch kam mit den korrekten Zahlen ein mittlerer Gang von 2,375 s/d raus. So ist das halt, wenn man 19 durch 8 teilt = 2,3750. Solche Ergebnisse, also mit so vielen Nachkommastellen liest man öfters. Aber sind diese Nachkommastellen auch sinnvoll? Da kann man mit Hilfe einer weniger, nicht allzu komplizierter Formeln was rechnen, um die Frage zu beantworten.

Wie sähe eine Uhr aus, die solche Gangwerte wie im Beispiel zwischen -3 und + 7 s/d hervorbringen würde? Erst mal verbal: nicht so besonders gut. Ein übliches mathematisches Modell ist die Gaußsche Normalverteilung, die könnte da so aussehen:

Das nennt sich Grundgesamtheit. Jetzt wurden im Beispiel 9 Tage betrachtet, also 8 Gänge, das war unser Stichprobenumfang. Wird man jetzt die ganze Aktion wiederholen, wird man mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht noch mal die gleichen Werte aus der Grundgesamtheit ziehen.

BTW: Lotto funktioniert auch so. Dort sind es aber mehr Balken und alle Balken sind gleich lang. Deswegen ist es dort noch unwahrscheinlicher, dass dieselben Zahlen zweimal hintereinander kommen.

Was man schnell rechnen kann ist: Wie wahrscheinlich ist es, eine bestimmten Mittelwert, im Fall Uhr also eine mittleren Gang, zu bekommen? Zur Rechnung braucht man zwei Dinge:

1. Die Standardabweichung.
   Man quadriert den Abstand vom Wert zum Mittelwert. Das macht man für alle Werte und addiert die Quadrate. Aus der Gesamtsumme zieht man dann zum Schluss die Wurzel. Für die blauen Balken oben kommt da 2 s/d raus. Das bedeutet:
   • etwas über 68 % der täglichen Gänge liegen in der Spanne von ±2 s/d (t=1)
   • gut 95% der täglichen Gänge liegen in der Spanne von ±4 s/d (t=2)
   • über 99% der täglichen Gänge liegen in der Spanne von ±6 s/d (t=3)
   Eine Spanne von 10 s/d (= ±5 s/d) hatten wir im Beispiel ja auch tatsächlich gesehen.
2. Der Vertrauensbereich der Stichprobe
   Der ist t mal die Standardabweichung durch die Wurzel des Stichprobenumfangs. Letzteres war ja die 8.

Das Ergebnis liest sich im Diagramm auch besser als in einer Tabelle:

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Wert von 2,375 bekommen liegt bei nur knapp 7%. Uff! Die dritte Nachkommastelle kann man also ganz vergessen. Drückte man es wieder so aus wie bei der Grundgesamtheit:

• etwas über 68 % der mittleren Gänge liegen in der Spanne von ±0,7 s/d = zwischen 1,8 und 3,2 s/d
• gut 95% der täglichen Gänge liegen in der Spanne von ±1,4 s/d = zwischen 1,1 und 3,9 s/d
• über 99% der täglichen Gänge liegen in der Spanne von ±2,1 s/d = zwischen 0,4 und 4,6 s/d

Die dritte Kategorie ist eine sehr hohe Anforderung, nur eine von 370 Stichproben wäre ausserhalb. Weswegen nimmt man üblicherweise gerne die mittlere Kategorie, da sind es eine von 22. Aber selbst das bedeutet, dass noch nicht mal die erste Stelle sicher ist, sie könnte 1, 2 oder 3 lauten, und was richtig ist zeigt in dem Fall kein Licht.

Ist die Uhr genauer, dann wird natürlich auch der Vertrauensbereich kleiner. Aber selbst bei ordentlichen Chronometern ist die erste Nachkommastelle immer noch Zufall, nicht aussagekräftig, sondern gaukelt nur eine nicht vorhandene Genauigkeit der Messung vor. Es ist, mal deutlich gesagt, vollkommen wurst, ob 2,375 oder 2,5 s/d rauskommt. Mehr als "irgendwas zwischen 2 und 3 Sekunden pro Tag" bedeutet es eh nicht. Auch wirklich viele Einzelmessungen helfen nur begrenzt weiter, da man viermal soviel Messungen machen muss um den Vertrauensbereich zu halbieren. Oder drastisch vereinfacht gesagt: will man auch nur annähern an die Zehntelsekunde pro Tag ran, dann brauchts über 100 Messungen.

[Seeschiffer]

Sehr geehrter Ralf,

toll, einfach Note 1+. Etwas Besseres habe ich noch in keinem Lehrbuch gesehen.
Als Schiffsführer auf Handelsschiffen in der weltweiten Fahrt, waren wir bis vor ca. 20 Jahren, auf deutschen Schiffen, verpflichtet, ein Chronometer-Tagebuch für den Schiffschronometer zu führen, mit Angabe von Datum, Position, Temperatur, Luftdruck, Gang und Stand. Der oder das Chronometer lief immer GMT bzw. UTC. Die Überprüfung erfolgte praktischer weise zur Mittagszeit Ortszeit. Wenn kein Himmel zur Verfügung stand, wurden Zeitzeichen von verschiedenen Radiostationen (vorzugsweise BBC, ABC oder Norddeich) benutzt. Besser als eine Zentelsekunde war nicht rauszuhören. Wenn die Sonne da war, wurde während der Mittagsbreite - Beobachtung bzw. Berechnung ein Zeitvergleich durch geführt. Mir ist es auch mit einem Terzienzähler von Strasser über mehrere Tage nie gelungen auch nur annähernd eine hunderstel Sekunde zu messen. Dies nur als Anhang zum letzten Absatz Ihrer Ausführungen.
Fazit: Eine Genauigkeit von Uhren für Normalmenschen im Hunderstel Sekundenbereich ist unsinnig, von uns wird keiner zum Mars fliegen.

man liest sich,

JMK

[Ralf]

Irgend jemand hat vor kurzem die Excel-Datei erwähnt, die ich mal vor langer Zeit hier eingestellt habe. Deswegen habe ich selber mal wieder hin geguckt und wie das so ist, wenn man guckt, dann sieht man auch was. Ich hab gesehen, dass es noch eine Verbesserungsmöglichkeit gibt, nämlich das Gang-Diagramm besser zu visualisieren. Bei der Gelegenheit dann auch die Excel auf ein etwas aktuelleres Format (*.xlsx) umgestellt. Das gibt es seit 2007, also auch nicht wirklich brandneu, sollte also kein allzu grosses Problem sein.

Die alte Datei habe ich stehen lassen, falls jemand ein altes Open Office benutz, das geht da auch.
Hier die neue Datei: http://www.rawac.de/download/Gang_berechnen.xlsx
xlsx bedeute kein Makro enthalten, also auch in der Hinsicht "secure". Kann trotzdem sein, dass man in neueren EXCELs nach dem Öffnen die Bearbeitung erst aktivieren muss.